こんにちは！個別指導WAMです(^^)
今回は、『表面積とは？立体図形ごとの求め方や練習問題を紹介！』についてご紹介します。
立体の表面積の求め方を知っていますか？
この記事を読もうとしている方の中には、
「表面積の公式は？」「表面積と体積はどう違う？」
という方もいらっしゃるのではないでしょうか。
この記事では、それらの疑問に答えていきます。下には練習問題も用意しています。
この機会に立体の表面積をマスターしましょう！
Contents
表面積とは
表面積と体積の違い
「表面積」とは、立体のすべての面の面積の和のことをいいます。外気に触れている面の面積の合計、水中に入れると濡れる部分の面積を足した値、とも言えます。単位は、「cm²（平方センチメートル）」「m²（平方メートル）」「a（アール）」「ha（ヘクタール）」などになります。
「体積」とは、立体の嵩（かさ）のことをいいます。その立体が占める場所の大きさのことで、中身が詰まっているもののボリューム、とも言えます。単位は、「cm³（立方センチメートル）」「m³（立方メートル）」「ml（ミリリットル）」「l（リットル）」などになります。
立体ごとの表面積の求め方
立方体
立方体の表面積を S 、一辺の長さを a とするとき、立方体の表面積は
S ＝ a × a × 6（ 一辺 × 一辺 × 面の数 ）
＝ 6a²
で求めることができます。
＜立方体の表面積の求め方＞
「 S ＝ 6a² 」
直方体
直方体の表面積を S 、底面の縦の長さを a 、横の長さを b 、高さを h とするとき、直方体の表面積は
S ＝ a × b × 2 + a × h × 2 + b × h × 2（ 縦 × 横 × 2 + 縦 × 高 さ × 2 + 横 × 高さ × 2 ）
＝2( ab + ah + bh )
で求めることができます。
＜直方体の表面積の求め方＞
「 S ＝ 2( ab + ah + bh )」
角柱
角柱の表面積を S 、底面の辺の長さの合計を ℓ 、高さを h とするとき、角柱の表面積は
S ＝ ( 低面積 ) × 2 + ℓ × h
＝2( 低面積 ) + ℓh
で求めることができます。
＜角柱の表面積の求め方＞
「 S ＝ 2( 低面積 ) + ℓh 」
円柱
円柱の表面積を S 、底面の半径を r 、高さを h 、円周率を π とするとき、円柱の表面積は
S ＝ r × r × π × 2 + r × 2 × π × h（ 低面積 × 2 + 円周の長さ × 高さ ）
＝ 2πr² + 2πrh
＝ 2πr ( r + h )
で求めることができます。
＜円柱の表面積の求め方＞
「 S ＝ 2πr ( r + h ) 」
角錐
角錐の表面積を S 、低面積の縦の長さを a 、横の長さを b とするとき、角錐の表面積はS＝(低面積)+(側面積)で求めることができます。
例えば図のような底面が長方形の四角柱の場合、
AG ＝ AI
＝ √h² + ( a / 2 )²
AH ＝ AF
＝ √h² + ( b / 2 )²
S ＝ a × b + 1/2 × ( √h² + ( b / 2 )²) × a × 2 + 1/2 × ( √h² + ( a / 2 )²) × b × 2
＝ ab + a ( √h² + ( b / 2 )²) + b ( √h² + ( a / 2 )²)
＜角錐の表面積の求め方＞
「S ＝ ( 低面積 ) + ( 側面積 ) 」※底面の形によって異なる
円錐
円錐の表面積を S 、底面の半径を r 、高さを h 、母線の長さをℓ、円周率をπとするとき、円錐の表面積は
S ＝ r × r × π + ℓ × ℓ × π × ( r × 2 × π / ℓ × 2 × π )（ 低面積 + 母線を半径とする円の面積 × 母線を半径とする円の円周の長さ ÷ 底面の円周の長さ ）
＝ πr² + πrℓ
＝ πr² + πr√r² + h²
で求めることができます。
＜円錐の表面積の求め方＞
「S ＝ πr² + πrℓ
＝ πr² + πr√r² + h² 」
球
球の表面積を S 、半径を r 、円周率を π とするとき、球の表面積は
S ＝ r × r × π × 4
＝ 4πr²
で求めることができます。
＜球の表面積の求め方＞
「 S ＝ 4πr² 」
表面積の問題
立方体の問題
【問題】一辺が5cmの立方体の表面積を求めなさい。
＜解答＞
立方体の表面積を S とする。
S ＝ 6 × 5²
＝ 150
よって、立方体の表面積は150cm²
直方体の問題
【問題】
底面の縦の長さが5cm、横の長さが10cm、高さが6cmの直方体の表面積を求めなさい。
＜解答＞
直方体の表面積を S とする。
S ＝ 2 ( 5 × 10 + 5 × 6 + 10 × 6 )
＝ 20 ( 5 + 3 + 6 )
＝ 20 × 14
＝ 280
よって、直方体の表面積は280cm²
角柱の問題
【問題】
図のような三角柱と五角柱の表面積を求めなさい。
＜解答＞
三角柱の表面積をS₁、五角柱の表面積をS₂とする。
S₁ ＝ 1/2 × 4 × 6 × 2 + ( 5 + 6 + 4 ) × 10
＝ 24 + 150
＝ 174
S₂ ＝ ( 1/2 × 2.5 × 8 + 1/2 × 6 × 2.5 + 1/2 × 2 × 7 ) × 2 + ( 5 + 3 + 2.5 + 3 + 3.5 ) × 10
＝ 2 {( 10 + 7.5 + 7 ) + 17 × 5 }
＝ 2 × 109.5
＝ 219
よって、三角柱の表面積は174cm²、五角柱の表面積は219cm²
円柱の問題
【問題】
円周率を π とするとき、底面の半径が4cm、高さが8cmの円柱の表面積を求めなさい。
＜解答＞
円柱の表面積を S とする。
S ＝ 2π × 4 ( 4 + 8 )
＝ 96π
よって、円柱の表面積は96πcm²
角錐の問題
【問題】
図のような四角柱の表面積を求めなさい。
＜解答＞
四角柱の表面積を S とする。
S ＝ 6 × 8 + 1/2 × 12 × 8 × 2 + 1/2 × 14 × 6 × 2
＝ 12 × ( 4 + 8 + 7 )
＝ 12 × 19
＝ 228
よって、四角柱の表面積は228cm²
円錐の問題
【問題】
円周率をπとするとき、半径が3cm、高さが4cmの円錐の表面積を求めなさい。
＜解答＞
円錐の表面積を S とする。
S ＝ π × 3² + π × 3√3² + 4²
＝ 4²π + 3√25π
＝ ( 16 + 15 ) π
＝ 31π
よって、円錐の表面積は31πcm²
球の問題
【問題】
円周率をπとするとき、半径7cmの球の表面積を求めなさい。
＜解答＞
球の表面積を S とする。
S ＝ 4π × 7²
＝ 196π
よって、球の表面積は196πcm²
表面積の求め方まとめ
・立方体の表面積の求め方
「 S ＝ 6a² 」
・直方体の表面積の求め方
「 S ＝ 2 ( ab + ah + bh )」
・角柱の表面積の求め方
「 S ＝ 2 ( 低面積 ) + ℓh 」
・円柱の表面積の求め方
「 S ＝ 2πr ( r + h )」
・角錐の表面積の求め方
「 S ＝ ( 低面積 ) + ( 側面積 )」※底面の形によって異なる
・円錐の表面積の求め方
「 S ＝ πr² + πrℓ
＝ πr² + πr√r² + h² 」
・球の表面積の求め方
「 S ＝ 4πr² 」
まとめ
いかがでしたか。
表面積の意味や求め方についてご紹介しました。
表面積は「 低面積 + 側面積 」が基本形ですが、底面の数や形によって求め方は異なります。立体ごとの求め方を覚えて、立体の表面積をマスターしましょう。
さらに表面積の求め方を理解するには、個別指導WAMがオススメです。
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