教室ブログ
こんばんは。亀田東校の青木です。たまには、講師らしく数学の「言い換え」について具体的問題で説明しましょうか。
例えばこんな問題があります。
a、b、c、dは実数とする。
a^2+b^2=1
c^2+d^2=1
ac+bd=1
のとき
a^2+d^2
b^2+c^2
の値を求めよ。（^2は二乗を意味する)
この問題に公式はありませんね。この問題は皆さんならどうアプローチするでしょうか。
数学で「言い換え」に慣れている人は、「代数的（四則演算）」「図形的」に解くのどちらかになるでしょう。
「代数的」に解くとしたら、式の区別からですね。
条件を言い換えましょう。
同次式。
連立方程式。
同次式の「言い換え」は「因数分解しやすい」。不等式なら、「イエンゼン系列（コーシー、相加相乗）」「チェビシェフ」。
連立方程式は「加減法」「代入法」で同値条件に気を付ける。
仮定を見ると、ac＋bd=1の式はacとbdの相互作用の関係を表しています。これをaとc、bとdに分解するには、分解？？因数分解ですね。つまり、aとcとbとdの関係は与えられている式から求められそうです。やってみてね。
さて大体の人は代数の問題として解くでしょうか。
「図形的に見てみましょう。」
図形的な見方は三通り。
「直交座標」
「三角関数」
「ベクトル」
もちろん、「三角関数」と「ベクトル」の性質をもつ「複素数平面」でもいいですね。
では「直交座標」から
a^2+b^2=1、c^2+d^2=1は「円」と言い換えられますか？？（図形で言うと三平方の定理だから、距離がずっと1の点を集めた軌跡か。とか）
ac+bd=1は「直線(円の接線)」と言い換えられますか？？（a、b）,(c、d）のうち、どちらかを固定すれば一次式ですね。（変数と定数の見方は中学2年の項と次数、係数でやります。）
ここら辺は一緒に授業したいですね。これを用いれば図形的に一瞬で解けますね。
次に「三角関数」
三角関数の座標は回転に強いです。「円」が絡む問題ではかなり強いですね。この問題でも有効ですね。加法定理使えば一発です。
次は「ベクトル」
「ac+bd」が「ベクトルの内積」に言い換えられますか？？
それが分かれば、三角関数と同様。一瞬ですね。
このように、1問でも「仮定」から4通りの言い換えが出来ます。自分で解いていると解答を見て、その解法を覚えようとするでしょう。国語も社会も理科もこの「言い換え」の視点を持っていると解答、解法を覚えることから脱出できます。
僕の研究上、英語はすみません、「継続」です。
Wam亀田東では、解法を覚えようとする解き方はさせません。（ある程度の思考レベルが必要）
レベルの高い子の指導も余裕できます。プリントや問題集を解いてその場で満足感を出している塾とは明らかに違います。なぜなら、他の講師では気づかない高い視点を常に意識して問題を解いているからです。
この視点は一般的な学校や塾では一生手に入りません。ぜひ高い視点を持ちたいお子様や高い視点を持ってほしい親御さんはWam亀田東校で一緒に夏を過ごしましょう。
